jueves, 24 de febrero de 2011

Volumen eficaz del Toblerone


Ésta que veis es la foto que aporté para la entrada que publicamos recientemente celebrando el segundo aniversario de Wonka. La foto de cada uno de nosotros, los wonkeros, debía definir nuestra particular relación con el chocolate... Y como todo el mundo dice que yo disecciono y mido el chocolate (total, sólo porque hay aproximadamente doce de mis entradas que contienen disecciones o cálculos numéricos, ¡coge buena fama y échate a dormir!), pues mi foto tenía que ir en esa línea. :D

Para darle cierto realismo, añadí una hoja con cálculos que tuvieran sentido... Cálculos sobre las dimensiones del Toblerone, al cual ya dediqué una entrada hace tiempo. Eso me dio una idea para una nueva entrada, que es la que voy a desarrollar a continuación...

El Toblerone, como sabemos, tiene una forma externa de prisma triangular, siendo su base, para ser más exactos, un triángulo equilátero. Sin embargo, la chocolatina no es un prisma macizo, sino que tiene una estructura en forma de ‘dientes de sierra’ equidistantes entre sí, dispuestos longitudinalmente. Es como si, sobre un prisma macizo, se hubieran practicado varios cortes, dando como resultado la mencionada estructura de dientes de sierra.

A efectos de cálculo, distinguiremos dos prismas: uno, el ‘original’, el prisma macizo antes de haber realizado los cortes; y otro, un prisma ficticio que abarca desde la arista superior -común a ambos prismas- hasta la superficie donde han alcanzado los cortes. Dichos prismas están definidos por el triángulo equilátero de sus bases, o más directamente, por el lado de ese triángulo.

En la figura acotada, tal vez se vea un poco más claro. A continuación, se muestran los valores aproximados de las mediciones de las distancias principales. Como os podéis imaginar, se hizo sobre un Toblerone gigante. No podía ser de otra manea midiendo 30 cm de longitud y 5.5 cm de lado de la base. :D



Nuestro objetivo será calcular qué porcentaje de chocolate con almendras y miel representa la estructura de dientes de sierra del Toblerone respecto al volumen máximo que podría tener si tuviera forma de prisma macizo.

Para ello, el primer paso será calcular dicho volumen máximo. El volumen de un prisma es (área de la base)*(longitud del prisma). El área de la base en nuestro caso es la de un triángulo, que es igual a (longitud de la base)*(altura)/2. En un triángulo equilátero, la longitud de la base es simplemente el lado, y la altura es lado*√3/2.


A continuación, vamos a calcular el volumen real. Este volumen lo separaremos en dos sumandos: el volumen de los dientes de sierra y el volumen de lo que he llamado la ‘base’, a falta de otra palabra mejor. Aquí la palabra ‘base’ no debe confundirse con la base del prisma, no tiene nada que ver. Nos referimos al ‘armazón’ sobre el que están dispuestos longitudinalmente los dientes. Es la parte del prisma macizo donde no han alcanzado los cortes transversales que dieron lugar a la estructura de dientes de sierra.

Esta ‘base’ se puede ver como el resultado de haber truncado el prisma macizo por un plazo paralelo a su arista superior, obteniéndose un nuevo prisma de menor base. Por tanto, el volumen de la ‘base’ será igual a la diferencia entre los volúmenes del prisma mayor y del prisma menor.


El volumen del prisma mayor no es otra cosa que el volumen máximo, que ya lo hemos calculado antes. Y el volumen del prisma menor se calcula de forma análoga, modificando tan sólo un dato: la longitud del lado del triángulo de la base. En lugar de ser 5.5 cm, ahora es 4.3 cm.


El otro término del volumen real que hay que calcular es el volumen de los dientes. Habrá que multiplicar el número de dientes -15 en total- por el volumen de cada diente. El volumen de cada diente será el área de la base del diente por su espesor. La base del diente es la del prisma menor, o dicho de otro modo, la del triángulo menor, pues como ya se ha dicho, es la dimensión que define el alcance de los cortes transversales que dan lugar a los dientes de sierra.

Así pues, sumando el volumen de la ‘base’ y el volumen de los dientes, se obtiene el volumen real.


Lo más difícil ya está hecho. Ahora, calcular el porcentaje de volumen aprovechado o volumen eficaz, será tan sencillo como dividir el volumen real entre el volumen máximo y multiplicar por 100.


El resultado es un 69.44% de aprovechamiento. No está mal, ¿verdad? Ese porcentaje vale para cualquier tamaño del Toblerone, ya que las dimensiones varían, pero presumo que siempre mantienen las mismas proporciones. Se podría calcular, por regla de tres, cuántas calorías más consumiríamos si el Toblerone fuera macizo. Además, su forma permite ir arrancando fácilmente porciones y comerlas una a una de forma similar a como se hace con los bombones. Es que estos suizos saben lo que se hacen... ;)

2 comentarios:

Inma dijo...

Hola Chema, hace mucho que no sabía nada de ti y me ha alegrado mucho ver esta entrada.
Como siempre me impresiona como disfrutas dándole a la cabeza y haciendo números
Ya sabes que de números entiendo lo mínimo pero de Toblerone, ayyy qué rico está el Toblerone.

Geno dijo...

Me remito a la última frase del comentario de Inma XDDDDD